チュートリアル2・パラメーターを使ってみる
関数式を入力する
チュートリアルの「まず使ってみる」では陽関数をやりましたので、今回は極座標グラフを描いてみましょう。
ここでは、r=1/(1+a*cos(t))のグラフを描いてみたいと思います。ここでaはパラメーターです。
パラメーターを利用するには、あらかじめ設定しておかなければなりません。といっても、とても簡単です。ツールバーの
をクリックして、このボタンを選択状態にすることです。パラメーターが利用可能になると、ウィンドウの右のパラメーター領域も利用できるようになります。
それでは、関数式を入力しましょう。
「極座標グラフ」の「関数式の入力」をクリックしてください。すると「関数式
r=f(t)を入力してください。」というダイアログが表示されるので、1/(1+a*cos(t))と入力して「OK」をクリックしてください。
すると原点を中心とする半径1の円が描かれると思います。これは、右のパラメーター領域内の①を見るとa=0となっているのでa=0のグラフです。
パラメーターを変える
では、①に1と入力してください。すると、グラフが右に凸の放物線に変わります。これはa=1の時のグラフです。
今度は①に-1と入力してください。すると、今度はグラフが左に凸の放物線に変わります。このときBackSpaceキーなどでテキストを空欄にするとはじめの原点中心の円になります。これは、テキスト内容を判断できなかった場合は0と解釈するためです。
計算をする
a=-1のまま、x軸方向の極小値を求めてみましょう。
①に-1が入力されているまま、「極座標グラフ」の「ｘ軸方向の極小」をクリックします。すると計算が行われ、テキスト領域には計算結果が表示されます。ここでyの値がy=-2.07272515665748E-12と表示されていますが(環境によって違うかもしれません)、これは-2.07272515665748×10-12を意味しています。実は、これはt=πのときに正確にy=0となるはずですが、計算の誤差が現れたのです。
パラメーターを不連続に変化させる
a=-1のまま、先ほどの図の③に0.1と入力してください。このとき、グラフには変化がありません。
さらに、⑤の「+」ボタンをクリックしてください。すると、a=-1のところがa=-0.9に変わり、グラフも変化します。グラフ絵画領域からはみ出ていますが、楕円のように見えます。
さらにもう1回「+」ボタンをクリックしてa=-0.8にすると、グラフがはみ出ることなく表示されるようになり、楕円であることがわかります。
さらに「+」ボタンをクリックしていくとa=0で円になり、a=0.1で再び楕円に、a=1で右に凸の放物線になります。
さらにもう1回クリックしてa=1.1にすると、曲線1本と直線2本になります。もう1回「+」をクリックすると右側にはみ出して見れなかった部分もグラフ領域に現れ、これが双曲線であることがわかります。このときに表示されている2つの直線は漸近線なのですが、これはtがその付近で急激に変化するために現れたものです。
このように、数値計算でグラフを描いている場合、グラフでない部分(ここでいう漸近線)があたかもグラフの一部あのように表示されることがあるということを覚えておいてください。
以上のようにGraph Analyzerを利用すると、次のようなことがわかります。
| ｔの範囲 |
グラフの形 |
| t<-1 |
双曲線 |
| t=-1 |
放物線 |
| -1<t<0 |
楕円 |
| t=0 |
円 |
| 0<t<1 |
楕円 |
| 1 |
放物線 |
| 1<t |
双曲線 |
これは数学的な証明にはなりませんが、確信はできるでしょう。(実際そうなります)
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