小さい角度のsinとtan
１．小さい角度のsinとtan
小さい角度では、sinの値とtanの値がほとんど同じになります。このことは次のグラフを見ていただければ分かります。
y=x*pi/180 (青), y=sin(x) (赤), y=tan(x) (緑) 単位は「度」
Mathematics Analyzer で作成
x=6度でのそれぞれの値は次のようになります。
| |
x*pi/180 |
sin(x) |
tan(x) |
| x=6度 |
0.10471975511966 |
0.104528463267653 |
0.105104235265676 |
| (x*pi/180との比)-1 |
1 |
-0.00182670262920048 |
0.00367151494555507 |
(x*pi/180との比)-1では、sin(x)やtan(x)の値をx*pi/180で割り、それから1を引いたもので、誤差の大きさを示しています。
sin(x)の場合では誤差が0.2%以内、tan(x)の場合では誤差が0.4%以内に収まっています。これは計算尺で計算するには十分の精度です。
他の角度ではどのようになるのか見てみます。ここで、「E」は「×10の何とか乗」を表します。例えば-3.92E-12=-3.92×10-12を表します。
| 角度 |
sinの時の誤差 |
tanの時の誤差 |
| 1秒 |
-3.92E-12 |
7.83E-12 |
| 5秒 |
-9.80E-11 |
1.96E-10 |
| 10秒 |
-3.92E-10 |
7.83E-10 |
| 1分 |
-1.41E-08 |
2.82E-08 |
| 5分 |
-3.53E-07 |
7.05E-07 |
| 10分 |
-1.41E-06 |
2.82E-06 |
| 1度 |
-5.08E-05 |
0.000102 |
| 5度 |
-0.00127 |
0.00255 |
| 10度 |
-0.00507 |
0.0103 |
| 30度 |
-0.0451 |
0.103 |
この表を見ると、角度の小さい範囲ではsin(x)やtan(x)はx*pi/180という直線で近似できることが分かります。その境目となるのがS尺の左端、あるいはSI尺の右端になる6度付近です。
２．なぜx*pi/180で近似できるのか
前の項目で角度の小さい範囲ではsin(x)やtan(x)はx*pi/180と近似できることが分かりました。それでは、なぜx*pi/180と近似できるのでしょうか。
この関数を微分したいのですが、角度の単位が「度」のままでは微分できません。そこで、三角関数の角度の単位を「ラジアン(Rad)」にしてみたいと思います。すると、x[度]=x*pi/180[Rad]となるので、sin(x*pi/180)とできます。
それでは、sin(x*pi/180)にx=0で接線を引いてみたいと思います。
sin(x*pi/180)を微分するとpi/180*cos(x*pi/180)となります。これより、x=0でのsin(x*pi/180)の傾きはpi/180だと分かります。そして、sin(x*pi/180)にx=0を代入すると0になります。したがって、x=0でy=sin(x*pi/180)に接線を引くとy=pi/180*xとなります。
次に、tan(x*pi/180)にx=0で接線を引いてみたいと思います。
tan(x*pi/180)を微分するとpi/180*1/{cos(x*pi/180)}2となります。これより、x=0でのtan(x*pi/180)の傾きはpi/180だと分かります。そして、tan(x*pi/180)にx=0を代入すると0になります。したがって、x=0でy=tan(x*pi/180)に接線を引くとy=pi/180*xとなります。
以上から、sinの場合もtanの場合もx*pi/180で近似できることが分かります。
３．計算尺での利用
これで、角度の小さい範囲ではsin(x)やtan(x)はx*pi/180と近似できることが分かりました。これを計算尺で利用しようというのがρ°です。
小さい角度のsinやtanの値を求めるには、その角度にpi/180をかければいいのです。これは言い換えれば180/pi=57.2957795130823で割ればいいのです。実際、ρ°は5.73のところに記してあります。計算の仕方も割り算の方法ですよね。
単位が分で、x分の場合は、x/60度として、pi/180をさらにかけます。pi/60/180をかける、つまり、180*60/pi=3437.74677078494で割ります。実際、ρ′は3.44のところに記してあります。
単位が秒で、x秒の場合は、x/3600度として、pi/180をさらにかけます。pi/3600/180をかける、つまり、180*3600/pi=206264.806247096で割ります。実際、ρ″は2.06のところに記してあります。
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