1 概要

ここでは、計算尺のメモリの一般論について紹介します。また、そこから、具体的な尺を見てみます。

2 メモリ

計算尺において、計算尺の横の長さを l, 利用したい関数を f(x), 初期条件を x_{0} とすると、 F 尺のメモリ x は計算尺の左端から位置 y に書かれています。ここで y は次の通り。

y = l log \frac{f(x)}{f(x_{0})}  (2.1)

対数の公式、

log \frac{a}{b} = log a − log b  (2.2)

を使うと、式 (2.1) は、

y = l log f(x) − l log f(x_{0})  (2.3)
= l log f(x) − a  (2.4)

となり、 a は平行移動を表しますので、 l log f(x) でメモリが振られていることになります。特に、 x = x_{0} のとき y = 0 となり、 f(x) = 10f(x_{0}) つまり x = f^{−1}(10f(x_{0})) のとき y = l となります。

3 D 尺と C 尺

D 尺と C 尺は、それらが固定尺にあるか、滑尺にあるかの違いがあるだけで、基本的には同じです。そのメモリは、 f(x) = x, x_{0} = 1 であり、式 (2.1) に代入すると、

y = l log \frac{f(x)}{f(1)}  (3.1)
= l log \frac{x}{1}  (3.2)
= l log x  (3.3)

となります。これが D 尺と C 尺をあらわす式です。

4 F 尺が滑尺にある場合

F 尺が滑尺にある場合、固定尺にある D 尺と利用することで掛け算や割り算を行うことができます。

では、 D 尺の a に F 尺の b をあわせ、カーソル線を F 尺の c に合わせたとしましょう。すると、カーソル線は D 尺の左の基線から次だけの距離 y にあります。

y = l log a + l log \frac{f(c)}{f(x_{0})} − l log \frac{f(b)}{f(x_{0})}  (4.1)
= l log (a × \frac{f(c)}{f(x_{0})} × \frac{f(x_{0})}{f(b)})  (4.2)
= l log \frac{af(c)}{f(b)}  (4.3)

となります。これを D 尺のメモリで読めば、

l log(x) = l log \frac{af(c)}{f(b)}  (4.4)
x = \frac{af(c)}{f(b)}  (4.5)

となります。これはすなわち、 f(x) に関する掛け算と割り算ができるということを表しています。

5 F 尺が固定尺にある場合

F 尺が固定尺にある場合、滑尺にある C 尺と利用することで掛け算や割り算を行うことができます。

では、 F 尺の a に C 尺の b をあわせ、カーソル線を C 尺の c に合わせたとしましょう。すると、カーソル線は F 尺の左の基線から次だけの距離 y にあります。

y = l log \frac{f(a)}{f(x_{0})} + l log c − l log b  (5.1)
= l log (\frac{f(a)}{f(x_{0})} × \frac{c}{b})  (5.2)

となります。これを F 尺のメモリで読めば、

l log \frac{f(x)}{f(x_{0})} = l log (\frac{f(a)}{f(x_{0})} × \frac{c}{b})  (5.3)
f(x) = \frac{c}{b}f(a)  (5.4)
x = f^{−1} (\frac{c}{b}f(a))  (5.5)

となります。これはすなわち、 f(x) に関する掛け算と割り算ができるということを表しています。注意していただきたいのは、 F 尺が滑尺にあるときは D 尺で読み、 F 尺が固定尺にある時は F 尺で読むので、後者では x = の式が f^{−1} という形をしているという点です。つまり、 F 尺が固定尺にある場合と滑尺にある場合では、できる計算が違うということです。

6 A 尺と B 尺

6.1 メモリ

A 尺と B 尺は、それらが固定尺にあるか、滑尺にあるかの違いがあるだけで、基本的には同じです。そのメモリは、 f(x) = \sqrt{x}, x_{0} = 1 であり、式 (2.1) に代入すると、

y = l log \frac{f(x)}{f(1)}  (6.1)
= l log \frac{\sqrt{x}}{1}  (6.2)
= l log \sqrt{x}  (6.3)

となります。これが A 尺と B 尺をあらわす式です。また、この式を変形すると、

y = \frac{1}{2}l log x  (6.4)

となります。これは、 C 尺や D 尺のメモリを半分に圧縮したものであるということがわかります。

6.2 A 尺・ B 尺と D 尺による計算

B 尺は滑尺にあるので、式 (4.5) に代入すると、

x = \frac{a\sqrt{c}}{\sqrt{b}}  (6.5)

となります。

特に、 a = 1, b = 1 とすれば、それは B 尺の左の基線を D 尺の左の基線に合わせたことになり、それはすなわち B 尺の変わりに A 尺を用いたことになります。そのときの式は

x = \sqrt{c}  (6.6)

となります。つまり、 D 尺と A 尺は、 2 乗・平方根の関係にあります。

7 S 尺

7.1 メモリ

一般的な計算尺では、 D 尺と対応することで三角関数を扱っています。その場合、 D 尺のメモリは、 f(x) = sin x, x_{0} = sin^{−1} 0.1(≃ 5.74^{∘}) となっています。これらより、メモリの式は、

y = l log \frac{sin x}{sin (sin^{−1} 0.1)}  (7.1)
= l log \frac{sin x}{0.1}  (7.2)

です。

7.2 S 尺が滑尺にある場合

式 (4.5) に代入すると、

x = \frac{a sin c}{sin b}  (7.3)

となります。 S 尺の左の基線を D 尺の a に合わせることを考えると、 b = sin^{−1} 0.1 なので、

x = \frac{a sin c}{sin (sin^{−1} 0.1)}  (7.4)
= 10a sin c  (7.5)

となり、掛け算になっています。ここで 10 が掛けられているのは、位取りの関係で、 sin が 0.1 ≤ sin x ≤ 1 の範囲だからです。

7.3 S 尺が固定尺にある場合

式 (5.5) に代入すると、

x = sin^{−1} (\frac{c}{b} sin a)  (7.6)

となります。 D 尺と S 尺を比較する場合を考えてみましょう。このとき、 a = sin^{−1} 0.1, b = 1 を代入すると、

x = sin^{−1} (\frac{c}{1} sin (sin^{−1} 0.1))  (7.7)
= sin^{−1} (0.1c)  (7.8)
c = 10 sin x  (7.9)

となり、やはり三角関数の対応となります。 x は S 尺上に現れることに注意してください。

8 LL 尺

8.1 メモリ

ごくまれに、 A 尺に対応する LL 尺もありますが、ほとんどの計算尺は D 尺対応なので、これについて見てみます。 LL 尺は複数あります。多いもので LL3, LL2, LL1, LL0, LL00, LL01, LL02, LL03 の 8 本でしょう。それらは次の通りになっています。

f(x) = ln x  x_{0} = e  y = l log \frac{ln x}{1}  (LL3)  (8.1)
f(x) = ln x  x_{0} = e^{\frac{1}{10}}  y = l log \frac{ln x}{0.1}  (LL2)  (8.2)
f(x) = ln x  x_{0} = e^{\frac{1}{100}}  y = l log \frac{ln x}{0.01} (LL1)  (8.3)
f(x) = ln x  x_{0} = e^{\frac{1}{1000}}  y = l log \frac{ln x}{0.001} (LL0)  (8.4)
f(x) = − ln x  x_{0} = e^{− \frac{1}{1000}} y = l log \frac{− ln x}{0.001} (LL00)  (8.5)
f(x) = − ln x  x_{0} = e^{− \frac{1}{100}}  y = l log \frac{− ln x}{0.01} (LL01)  (8.6)
f(x) = − ln x  x_{0} = e^{− \frac{1}{10}}  y = l log \frac{− ln x}{0.1} (LL02)  (8.7)
f(x) = − ln x  x_{0} = e^{−1}  y = l log \frac{− ln x}{1} (LL03)  (8.8)

式が煩雑なので、最も簡単な LL3 尺で話を進めていきましょう。 LL3 尺では、メモリの式が y = l log ln x となります。これが LL=LogLog といわれる所以です。

8.2 LL 尺を利用した指数対数計算

LL 尺は固定尺にあるので、式 (5.5) に代入します。

ln x = \frac{c}{b} ln a  (8.9)
ln x = ln a^{\frac{c}{b}}  (8.10)
x = a^{\frac{c}{b}}  (8.11)

となりますので、指数対数の計算ができます。

8.3 LL 尺を利用した逆数計算

LLn 尺 (n = 0, 1, 2, 3) は、

y = l log \frac{ln x_{1}}{(\frac{1}{10})^{3−n}}  (8.12)

と書け、また、 LL0n 尺 (n = 0, 1, 2, 3) は、

y = l log \frac{− ln x_{2}}{(\frac{1}{10})^{3−n}}  (8.13)

と書けますので、 LLn 尺と LL0n 尺をカーソル線を使って対応を見てみると、

l log \frac{ln x_{1}}{(\frac{1}{10})^{3−n}} = l log \frac{− ln x_{2}}{(\frac{1}{10})^{3−n}}  (8.14)
\frac{ln x_{1}}{(\frac{1}{10})^{3−n}} = \frac{− ln x_{2}}{(\frac{1}{10})^{3−n}}  (8.15)
\frac{ln x_{1}}{(\frac{1}{10})^{3−n}} = \frac{− ln x_{2}}{(\frac{1}{10})^{3−n}}  (8.16)
ln x_{1} = − ln x_{2}  (8.17)
x_{1} = \frac{1}{x_{2}}  (8.18)

となりますから、逆数を求めることができます。